Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d₁, d₂, d₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

   Решение

---

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица сложения"). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66007  (#11.4.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В треугольнике АВС проведены медиана АМ, биссектриса AL и высота AH.
Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника АВС, если  AL = t,  AH = h  и L – середина отрезка MH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66008  (#11.4.3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Назовём натуральное число убывающим, если каждая цифра в его десятичной записи, кроме первой, меньше или равна предыдущей. Существует ли такое натуральное n, что число 16ⁿ – убывающее?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66009  (#11.5.1)

Темы:   [ Иррациональные уравнения ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Решите уравнение  f(f(x)) = f(x),  если  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66011  (#11.5.2)

Темы:   [ Конус (прочее) ] [ Теорема Пифагора в пространстве ] [ Вычисление длин дуг ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой     положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66010  (#11.5.3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли такое натуральное n, что  3ⁿ + 2·17ⁿ  является квадратом некоторого натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями