Версия для печати
Убрать все задачи

---

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

   Решение

---

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67073  (#1)

Тема:   [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Для каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n, ..., 9n$ выписали на доску первую слева цифру в его десятичной записи. При этом $n$ выбрали так, чтобы среди девяти выписанных цифр количество различных цифр было как можно меньше. Чему равно это количество?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67080  (#2)

Темы:   [ Построения (прочее) ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график функции  $y = f(x)$.  Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если
  а)  $f(x) = 3^x$;
  б)  $f(x)$ = log_ax,  где  $a$ > 1  – неизвестное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67022  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны.
Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67017  (#4)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

По доске $n$×$n$ прошла ладья, побывав в каждой клетке один раз, причем каждый её ход был ровно на одну клетку. Клетки занумерованы от 1 до $n^2$ в порядке прохождения ладьи. Пусть $M$ – максимальная разность между номерами соседних (по стороне) клеток. Каково наименьшее возможное значение $M$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67026  (#5)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале  (0, 1)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями