Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Вниз   Решение


Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n$ \ge$7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

ВверхВниз   Решение


В равнобедренной трапеции ABCD углы при основании AD равны 30o, диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Биссектриса угла BCD пересекает основание AD в точке M, а отрезок BM пересекает диагональ AC в точке N. Найдите площадь треугольника ANM, если площадь трапеции ABCD равна 2 + $ \sqrt{3}$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      



Задача 77876

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найти все рациональные положительные решения уравнения  xy = yx  (x ≠ y).

Прислать комментарий     Решение

Задача 77871

Тема:   [ Логарифмические неравенства ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Доказать без помощи таблиц, что

$\displaystyle {\frac{1}{\log_2\pi}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\log_5\pi}}$ > 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 77872

Темы:   [ Неравенства с трехгранными углами ]
[ Пирамида (прочее) ]
[ Неравенства с углами ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны две треугольные пирамиды ABCD и A'BCD с общим основанием BCD, причем точка A' лежит внутри пирамиды ABCD. Доказать, что сумма плоских углов при вершине A' пирамиды A'BCD больше суммы плоских углов при вершине A пирамиды ABCD.
Прислать комментарий     Решение


Задача 77874

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R$ \ge$2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 77873

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Решите в натуральных числах уравнение  xy = yx  при  x ≠ y.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .