Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78115 (#1)

Тема:

[

Экстремальные свойства треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?

Прислать комментарий Решение

Задача 78116 (#2)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
Темы:	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 4
Классы: 9

Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10⁸ равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10⁹.

Прислать комментарий Решение

Задача 78117 (#3)

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9

Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78118 (#4)

Темы:	[	Системы алгебраических нелинейных уравнений	]
Темы:	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 4-
Классы: 9

Найти все действительные решения системы уравнений

Прислать комментарий

Решение

Задача 78119 (#5)

Темы:	[	Наименьший или наибольший угол	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9

В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]