ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 57923  (#1)

Темы:   [ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла MAK.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97815  (#2)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их сумма равна 987654321.
  а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары   ((a, b)  и  (b, a)  – одна и та же пара).
  б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108605  (#3)

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Векторы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K, M и P. Докажите, что     где Q – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97817  (#4)

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Анджанс А.

a1, a2, a3, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  aak = 3k  для любого k.
Найти   а)  a100;   б)  a1983.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97818  (#5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

На бесконечной во все стороны шахматной доске выделено некоторое множество клеток A. На всех клетках доски, кроме множества A, стоят короли. Все короли могут по команде одновременно сделать ход, заключающийся в том, что король либо остаётся на месте, либо занимает соседнее поле, то есть делает "ход короля". При этом он может занять и то поле, с которого сходит другой король, но в результате хода двум королям оказаться в одной клетке запрещается. Существует ли такое k и такой способ движения королей, что после k ходов вся доска будет заполнена королями? Рассмотрите варианты:
  а) A есть множество всех клеток, у которых обе координаты кратны 100 (предполагается, что одна горизонтальная и одна вертикальная линии занумерованы всеми целыми числами от минус бесконечности до бесконечности и каждая клетка доски обозначается двумя числами – координатами по этим двум осям);
  б) A есть множество всех клеток, каждая из которых бьётся хотя бы одним из 100 ферзей, расположенных каким-то фиксированным образом.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .