Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что:
а)  a = r(ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2)) = r cos($ \alpha$/2)/(sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2));
б)  a = ra(tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2)) = racos($ \alpha$/2)/(cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2));
в)  p - b = rctg($ \beta$/2) = ratg($ \gamma$/2);
г)  p = ractg($ \alpha$/2).

Вниз   Решение


На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.

ВверхВниз   Решение


Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A1, B1, C1 — на прямой l1. Докажите, что точки пересечения прямых AB1 и BA1, BC1 и CB1, CA1 и AC1 лежат на одной прямой (Папп).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  27Rr $ \leq$ 2p2 $ \leq$ 27R2/2.

ВверхВниз   Решение


Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеток вырезано 99 квадратиков размером 2×2 клетки. Докажите, что из него можно вырезать еще один такой квадратик.

ВверхВниз   Решение


Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.

ВверхВниз   Решение


На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

ВверхВниз   Решение


Даны три прямые l1, l2 и l3, пересекающиеся в одной точке, и точка A1 на прямой l1. Постройте треугольник ABC так, чтобы точка A1 была серединой его стороны BC, а прямые l1, l2 и l3 были серединными перпендикулярами к сторонам.

ВверхВниз   Решение


Дано n прямых. Постройте n-угольник, для которого эти прямые являются: а) серединными перпендикулярами к сторонам; б) биссектрисами внешних или внутренних углов при вершинах.

ВверхВниз   Решение


Прямые  AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A1B1BC и B1C1AC и A1C1 лежат на одной прямой (Дезарг).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 111804  (#08.4.10.3)

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111805  (#08.4.10.4)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность (an) задана условиями a1= 1000000 , an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111806  (#08.4.10.5)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111807  (#08.4.10.6)

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111808  (#08.4.10.7)

Темы:   [ Средние величины ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .