Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 23]

Задача 105083

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Обход графов	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Спивак А.В.

Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих передвижений).

а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке, надёжна.
б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть надёжными после разрушения любой из траншей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105094

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Токарев С.И.

В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных один раз. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья – ½, поражение – 0.) Могут ли неправильные партии составлять
а) более 75% от общего количества партий в турнире;
б) более 70%?

Прислать комментарий

Решение

Задача 105095

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Упаковки	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Можно ли расположить бесконечное число равных выпуклых многогранников в слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, так чтобы ни один многогранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая остальных?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 23]