Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 23]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
|
Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные
на отрезках
AB и
CD как на диаметрах, касаются внешним образом
в точке
M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.
Окружность, проходящая через точки
A ,
M и
C , вторично пересекает
прямую, соединяющую точку
M и середину
AB в точке
K , а окружность,
проходящая через точки
B ,
M и
D , вторично пересекает ту же прямую
в точке
L . Докажите, что
|MK-ML| = |AB-CD| .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности
{bn + cn},
{bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) an = n²;
б) 
в) 
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Из колоды вынули семь карт, показали всем, перетасовали и раздали Грише и Лёше по три карты, а оставшуюся карту
а) спрятали;
б) отдали Коле.
Гриша и Лёша могут по очереди сообщать вслух любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом Коля не смог вычислить местонахождение ни одной из тех карт, которых он не видит? (Гриша
и Лёша не договаривались о каком-либо особом способе общения; все переговоры
происходят открытым текстом.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина
палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя
повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 23]
Фильтр
