Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

Вниз   Решение


Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого n выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?

ВверхВниз   Решение


Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

ВверхВниз   Решение


В бесконечной последовательности  a1, a2, a3, ... число a1 равно 1, а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то  an = an–1 + 1,  если же остаток равен 3, то  an = an–1 – 1.  Докажите, что в этой последовательности
  а) число 1 встречается бесконечно много раз;
  б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)

ВверхВниз   Решение


В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой диагонали одна и та же. Докажите, что
  а)  2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
  б)  2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.

ВверхВниз   Решение


Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
  а) делится на 12!;
  б) делится на 13!.

ВверхВниз   Решение


Целые числа a, b и c таковы, что числа  a/b + b/c + c/a  и  a/с + с/b + b/a  тоже целые. Докажите, что  |a| = |b| = |c|.

ВверхВниз   Решение


Автор: Бегун Б.И.

В углу шахматной доски размером m×n полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

ВверхВниз   Решение


В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что
  а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих;
  б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.

ВверхВниз   Решение


На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 43]      



Задача 64723

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Признаки подобия ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64454

Тема:   [ Симметричная стратегия ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Петя и Вася играют в такую игру. Сначала на столе лежит 11 кучек по 10 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждым ходом игрок берёт 1, 2 или 3 камня, но Петя каждый раз выбирает все камни из любой одной кучки, а Вася всегда выбирает все камни из разных кучек (если их больше одного). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107783

Темы:   [ Ломаные ]
[ Доказательство от противного ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 43]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .