Версия для печати
Убрать все задачи

---

  На доске написаны три функции:  f₁(x) = x + ¹/_x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f₁,  f₂,  f₃, то получить ¹/_x невозможно.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107842

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107826

Темы:   [ Взвешивания ] [ Индукция (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5+ Классы: 7,8,9

Банкир узнал, что среди одинаковых на вид монет одна — фальшивая (более легкая). Он попросил эксперта определить эту монету с помощью чашечных весов без гирь, причем потребовал, чтобы каждая монета участвовала во взвешиваниях не более двух раз. Какое наибольшее число монет может быть у банкира, чтобы эксперт заведомо смог выделить фальшивую за n взвешиваний?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107841

Темы:   [ Инварианты ] [ Производная в точке ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

  На доске написаны три функции:  f₁(x) = x + ¹/_x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f₁,  f₂,  f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107844

Темы:   [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательные проекции ] [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Параллельный перенос (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями