ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 107831

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

2n шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на n, то она изменилась ровно на n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107837

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение – 0. Затем был определен коэффициент каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108170

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты точки C' , A' и B' соответственно. Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна

,

где R – радиус описанной окружности треугольника ABC .
Прислать комментарий     Решение

Задача 107834

Темы:   [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .