Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]

Задача 107858 (#М1637)

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Произволов В.В.

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107853 (#М1639)

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Задачи на проценты и отношения	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Френкин Б.Р.

Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98397 (#М1640)

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Внутренняя точка M выпуклого четырёхугольника ABCD такова, что треугольники AMB и CMD – равнобедренные с углом величиной 120° при вершине M.
Докажите существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA – правильные.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98398 (#М1642)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Правило произведения	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, где между некоторыми полями вставлены перегородки. Если ладья может обойти все поля, не перепрыгивая через перегородки, то лабиринт называется хорошим, иначе – плохим. Каких лабиринтов больше – хороших или плохих?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98399 (#М1644)

Темы:	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.

б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]