Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 108168

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Ломаные	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Произволов В.В.

Внутри острого угла XOY взяты точки M и N, причём ∠XON = ∠YOM. На луче OX отмечена точка Q так, что ∠NQO = ∠MQX, а на луче OY – точка P так, что ∠NPO = ∠MPY. Докажите, что длины ломаных MPN и MQN равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35621

Темы:	[	Вычисление интегралов	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]

Сложность: 4-
Классы: 11

Вычислите $\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 107829

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Перегруппировка площадей	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Произволов В.В.

В выпуклом шестиугольнике AC₁BA₁CB₁ AB₁ = AC₁, BC₁ = BA₁, CA₁ = CB₁ и ∠A + ∠B + ∠C = ∠A₁ + ∠B₁ + ∠C₁.
Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107824

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.
б) Существует ли такое 1997-значное число?

Прислать комментарий

Решение

Задача 107830

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Ковальджи А.К.

По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют n поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции A, B и C (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию A и одновременно Лёша входит на станцию B, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]