Версия для печати
Убрать все задачи

---

Назовём лестницей высоты n фигуру, состоящую из всех клеток квадрата n×n, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

   Решение

---

Какое минимальное количество точек на поверхности
   а) додекаэдра,
   б) икосаэдра
надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?

   Решение

---

Дима пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... .
На каких местах, считая от начала, в первый раз будут стоять три цифры 5 подряд?

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC на основании BC взята точка D, а на боковой стороне AB – точки E и M так, что  AM = ME  и отрезок DM параллелен стороне AC. Докажите, что  AD + DE > AB + BE.

   Решение

---

Точки O₁ и O₂ – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC).  Описанные окружности треугольников ABC и O₁O₂A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O₁O₂A.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109918  (#97.4.10.6)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?

б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108180  (#97.4.10.7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Точки O₁ и O₂ – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC).  Описанные окружности треугольников ABC и O₁O₂A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O₁O₂A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109920  (#97.4.10.8)

Темы:   [ Монотонность и ограниченность ] [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Иррациональные уравнения ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что если

++=++= = ++
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями