Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямая l пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

   Решение

---

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что  KO ⊥ AC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110052  (#00.4.8.6)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Путь от платформы A до платформы B электропоезд прошел за X минут  (0 < X < 60).  Найдите X, если известно, что как в момент отправления от A, так и в момент прибытия в B угол между часовой и минутной стрелками равнялся X градусам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108244  (#00.4.8.7)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что  KO ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110054  (#00.4.8.8)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Подсчет двумя способами ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с некоторыми другими городами, причём для каждого города число исходящих из него авиалиний есть степень двойки (то есть 1, 2, 4, 8, ...). Для каждого города A статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не более одной пересадки, связывающих A с другими городами, а затем просуммировал полученные результаты по всем 2000 городам. У него получилось 100000. Докажите, что статистик ошибся.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110039  (#00.4.9.1)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Миша решил уравнение  x² + ax + b = 0  и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110040  (#00.4.9.2)

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b и c, большие 1 и такие, что  2^a + 1  делится на b,  2^b + 1  делится на c, а  2^c + 1  делится на a?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями