Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Храмцов Д.

Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Обозначим через A' , B' , C' точки, симметричные точке I относительно сторон треугольника ABC . Докажите, что если окружность, описанная около треугольника A'B'C' , проходит через вершину B , то ABC = 60o .

Вниз   Решение


На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

ВверхВниз   Решение


Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что  px = y³ + 1.

ВверхВниз   Решение


Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60o . Докажите, что AC+BD1 .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



Задача 109522  (#93.5.9.2)

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60o . Докажите, что AC+BD1 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109523  (#93.5.9.3)

Темы:   [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Перлин А.

Квадратный трёхчлен  f(x) разрешается заменить на один из трёхчленов      или     Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена  x² + 4x + 3  получить трёхчлен  x² + 10x + 9?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109524  (#93.5.9.4)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109525  (#93.5.9.5)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Целые числа x, y и z таковы, что  (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z.  Докажите, что число  x + y + z  делится на 27.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109526  (#93.5.9.6)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , D1 и D2 960. Докажите, что если A1B2=B1C2=C1D2=D1A2 , то четырехугольник, образованный прямыми A1A2 , B1B2 , C1C2 , D1D2 , можно вписать в окружность.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .