Версия для печати
Убрать все задачи

---

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109664  (#98.5.11.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Касающиеся окружности ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом n > 1 окружность ω_n касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_n–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109665  (#98.5.11.6)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Возвратные уравнения ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5- Классы: 7,8,9,10,11

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109666  (#98.5.11.7)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Метод ГМТ в пространстве ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109667  (#98.5.11.8)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Подсчет двумя способами ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Непрерывность и компактность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями