ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 109668  (#98.5.10.1)

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции  y = ax³ + bx² + cx + d:  первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109669  (#98.5.10.2)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109670  (#98.5.10.3)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через Ka . Аналогично построим точки Kb и Kc . Докажите, что три прямые, соединяющие точки Ka , Kb и Kc с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109671  (#98.5.10.4)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из 2k элементов ( k – фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из (k+1)2 элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109672  (#98.5.10.5)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98 . Можно ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .