Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50· 70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109848  (#06.5.10.6)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На дугах AB и BC окружности, описанной около треугольника ABC, выбраны соответственно точки K и L так, что прямые KL и AC параллельны.
Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK и CBL равноудалены от середины дуги ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109857  (#06.5.10.7)

Темы:   [ Итерации ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Уравнение  f(f(x)) = 0  имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна  –1. Докажите, что  b ≤ – ¼.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109838  (#06.5.11.1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Иррациональные неравенства ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Докажите, что sin< при 0<x< .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109839  (#06.5.11.2)

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109840  (#06.5.11.3)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Алгебраические методы ] [ Метод координат на плоскости ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50· 70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями