Этапы:
-
Региональный этап
(21 задача)
Заключительный этап
(20 задач)
Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Окружность, центр которой лежит на эллипсе, касается двух сопряженных диаметров. Докажите, что радиус окружности не зависит от выбора сопряженных диаметров.
Решение
В треугольнике ABC угол C равен 90o , AC = 5 , sin A =
. Найдите BC .
Решение
На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец. Решение
Решение
Убрать все задачи
Окружность, центр которой лежит на эллипсе, касается двух сопряженных диаметров. Докажите, что радиус окружности не зависит от выбора сопряженных диаметров.
РешениеВ треугольнике ABC угол C равен 90o , AC = 5 , sin A =
РешениеНа острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
РешениеНайдите все такие простые числа p, что число p² + 11 имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Две окружности радиусов R и r касаются прямой l
в точках A и B и пересекаются в точках C и D .
Докажите, что радиус окружности, описанной около
треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Задача 109871 (#95.4.9.1) |
|
|
Докажите, что для любых положительных чисел x и y справедливо
неравенство
|
|
Решение |
Задача 109872 (#95.4.9.2) |
|
|
Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
|
|
|
Решение |
Задача 108189 (#95.4.9.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109874 (#95.4.9.4) |
|
|
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).
Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
|
|
|
Решение |
Задача 109875 (#95.4.9.5) |
|
|
Найдите все такие простые числа p, что число p² + 11 имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
