Версия для печати
Убрать все задачи

---

При изготовлении партии из  N ≥ 5  монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

   Решение

---

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1 . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

   Решение

---

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109957  (#98.4.9.8)

Темы:   [ Инварианты ] [ Метод координат на плоскости ] [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109942  (#98.4.10.1)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть f(x)=x²+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0 и f(f(x))=0 имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108105  (#98.4.10.2)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109944  (#98.4.10.3)

Темы:   [ Системы точек ] [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109945  (#98.4.10.4)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4, 21998 . Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями