Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

   Решение

а) Докажите для всех n > 2 неравенство    

б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех  n > 2  

   Решение

Рассматривается конечное множество M единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества M) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества M.

   Решение

Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Натуральное число n назовём хорошим, если каждое из чисел n,   n + 1,  n + 2  и  n + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  n = 60398  – хорошее.)
Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в 4 цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее чем в три цвета?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]