ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Всероссийская олимпиада по математике >> 2001-2002 >> Региональный этап >> 9 Класс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Упростите выражения:
а) sin$ {\dfrac{\pi}{2n+1}}$sin$ {\dfrac{2\pi}{2n+1}}$sin$ {\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...sin$ {\dfrac{n\pi}{2n+1}}$;
б) sin$ {\dfrac{\pi}{2n}}$sin$ {\dfrac{2\pi}{2n}}$sin$ {\dfrac{3\pi}{2n}}$...sin$ {\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$;
в) cos$ {\dfrac{\pi}{2n+1}}$cos$ {\dfrac{2\pi}{2n+1}}$cos$ {\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...cos$ {\dfrac{n\pi}{2n+1}}$;
г) cos$ {\dfrac{\pi}{2n}}$cos$ {\dfrac{2\pi}{2n}}$cos$ {\dfrac{3\pi}{2n}}$...cos$ {\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$.

Вниз   Решение

У Винни-Пуха есть 25 полных больших бочонков мёда. Известно, что этим количеством мёда он может целиком заполнить ровно 45 маленьких бочонков. А сможет ли он разлить свои запасы мёда в 20 больших и 9 маленьких бочонков?

ВверхВниз   Решение

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости расположено [ n] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

  с решениями  

Задача 110107  (#02.4.9.1)

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Лифшиц Ю.

Клетки квадрата 9×9 окрашены в красный и белый цвета. Докажите, что найдётся или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два белых соседа по углу (или и то, и другое).

Прислать комментарий     Решение

Задача 110100  (#02.4.9.2)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108215  (#02.4.9.3)

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Злобин С.А.

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) точка O – центр описанной окружности. Точка M лежит на отрезке BO , точка M' симметрична M оносительно середины AB . Точка K – точка пересечения M'O и AB . Точка L на стороне BC такова, что CLO = BLM . Докажите, что точки O , K , B , L лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение

Задача 110102  (#02.4.9.4)

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости расположено [ n] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.
Прислать комментарий     Решение

Задача 110103  (#02.4.9.5)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Рубанов И.С.

Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам