Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

   Решение

---

В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?

   Решение

---

В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

   Решение

---

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110164  (#04.4.9.8)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Мишень "бегущий кабан" находится в одном из n окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень все время остается невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110153  (#04.4.10.1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Сумма положительных чисел a, b, c равна ^π/₂. Докажите, что  cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108210  (#04.4.10.2)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110160  (#04.4.10.3)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Три натуральных числа таковы, что произведение каждых двух из них делится на сумму этих двух чисел.
Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110154  (#04.4.10.4)

Темы:   [ Системы точек ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Метод координат на плоскости ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями