- Региональный этап (26 задач)
- Заключительный этап (22 задачи)
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.
Пусть M={x1, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных
чисел; An ( 1 n
30 ) – сумма всевозможных произведений различных n элементов
множества M . Докажите, что если A15>A10 , то A1>1 .
Точки A , B , C и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.
Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции y = ax³ + bx² + cx + d: первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.
Найдите все пары чисел x,y (0;
) , удовлетворяющие
равенству sin x+ sin y= sin(xy) .
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
Задача 110182 (#05.4.10.5) |
|
|
Арифметическая прогрессия a1, a2, ..., состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом n произведение anan+31 делится на 2005.
Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?
|
|
Решение |
Задача 110188 (#05.4.10.6) |
|
|
Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.
Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.
|
|
|
Решение |
Задача 110183 (#05.4.10.7) |
|
|
Найдите все такие пары (a, b) натуральных чисел, что при любом натуральном n число an + bn является точной (n+1)-й степенью.
|
|
|
Решение |
Задача 110184 (#05.4.10.8) |
|
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки.
Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?
|
|
|
Решение |
Задача 110173 (#05.4.11.1) |
|
|
Найдите все пары чисел x,y (0;
) , удовлетворяющие
равенству sin x+ sin y= sin(xy) .
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
