Версия для печати
Убрать все задачи

---

На прямой l в пространстве последовательно расположены точки A , B и C , причём AB = 10 и BC = 22 . Найдите расстояние между прямыми l и m , если если расстояния от точек A , B и C до прямой m равны 12, 13 и 20 соответственно.

   Решение

---

На плоскости дано n попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше 180^o/n.

   Решение

---

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через K_a . Аналогично построим точки K_b и K_c . Докажите, что три прямые, соединяющие точки K_a , K_b и K_c с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.

   Решение

---

Даны два квадратных трёхчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при x², то получатся трёхчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трёхчленах поменять местами коэффициенты при x, то получатся трёхчлены, имеющие корни.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111809  (#08.4.10.8)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторонAB и AC в точках D и E соответственно. Пусть P – произвольная точка на большей дуге DE окружности ω, F – точка, симметричная точке A относительно прямой DP, M – середина отрезка DE. Докажите, что угол FMP – прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111794  (#08.4.11.1)

Тема:   [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Даны два квадратных трёхчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при x², то получатся трёхчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трёхчленах поменять местами коэффициенты при x, то получатся трёхчлены, имеющие корни.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111795  (#08.4.11.2)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111805  (#08.4.11.3)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Последовательность (a_n) задана условиями a₁= 1000000 , a_n+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111797  (#08.4.11.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180^o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями