ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      



Задача 111806  (#08.4.11.5)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111799  (#08.4.11.6)

Темы:   [ Поворотная гомотетия (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На диагонали BD вписанного четырёхугольника ABCD выбрана такая точка K, что  ∠AKB = ∠ADC.  Пусть I и I' – центры вписанных окружностей треугольников ACD и ABK соответственно. Отрезки II' и BD пересекаются в точке X. Докажите, что точки A, X, I, D лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111800  (#08.4.11.7)

Тема:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Исаев М.

Числа x1, x2, ..., xn таковы, что  x1x2 ≥ ... ≥ xn ≥ 0  и     Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 111801  (#08.4.11.8)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Задачи с ограничениями ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111877  (#08.5.9.1)

Темы:   [ Произведения и факториалы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .