В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.

   Решение

Сколько существует таких натуральных n, не превосходящих 2012, что сумма  1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ  оканчивается на 0?

   Решение

Существует ли такой квадратный трёхчлен P(x) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P(n) также записывается одними единицами?

   Решение

Существует ли выпуклый пятиугольник (все углы меньше 180^o ) ABCDE , у которого все углы ABD , BCE , CDA , DEB и EAC – тупые?

   Решение

По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

В некоторых клетках таблицы 10x10 расставлены несколько крести- ков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столб- ца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?

Прислать комментарий

Решение

Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике  ABC проведена биссектриса  BD (точка  D лежит на отрезке  AC ). Прямая  BD пересекает окружность  Ω , описанную около треугольника  ABC , в точках  B и  E . Окружность  ω , построенная на отрезке  DE как на диаметре, пересекает окружность  Ω в точках  E и  F . Докажите, что прямая, симметричная прямой  BF относительно прямой  BD , содержит медиану треугольника  ABC .

Прислать комментарий

Решение

Дано натуральное  n > 1.  Число  a > n²  таково, что среди чисел  a + 1, a + 2, ..., a + n  есть кратные каждого из чисел  n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что  a > n⁴ – n³.

Прислать комментарий

Решение

По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]