а) В конструкции на рисунке переложите две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов.
б) Из новой фигуры уберите 3 спички так, чтобы осталось только 3 квадрата.

   Решение

Пусть AH_a и BH_b – высоты треугольника ABC, P и Q – проекции точки H_a на стороны AB и AC. Докажите, что прямая PQ делит отрезок H_aH_b пополам.

   Решение

По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N , N2 . При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра, встречающаяся в десятичной записи каждого из них. Найдите наименьшее возможное значение N .

   Решение

Можно ли таблицу 5×5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а сумма чисел в каждом столбце – отрицательной?

   Решение

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

Дана бесконечная последовательность чисел  a₁, a₂, a₃, ...  Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
a_k = a_k+t = a_k+2t = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что  a_k = a_k+T  при любом натуральном k?

Прислать комментарий

Решение

Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 1001 орех по трём коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую четвёртую коробочку и предъявить Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв?

Прислать комментарий

Решение

Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки C₁ и A₁, отличные от вершин. Пусть K – середина A₁C₁, а I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Оказалось, что четырёхугольник A₁BC₁I вписанный. Докажите, что угол AKC тупой.

Прислать комментарий

Решение

Петя и Вася играют в следующую игру. Петя загадывает натуральное число x с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число a и узнаёт у Пети сумму цифр числа  |x – a|.  Какое минимальное число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить x?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]