Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такой четырёхугольник, что любая диагональ делит его на два тупоугольных треугольника?

   Решение

---

20 команд сыграли круговой турнир по волейболу.
Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.

   Решение

---

Известно, что число 2³³³ имеет 101 цифру и начинается с цифры 1. Сколько чисел в ряду 2, 4, 8, 16, ..., 2³³³ начинается с цифры 4?

   Решение

---

Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от $1$ до $8$ так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало $\frac{4}{5}$? А чтобы не превышало $\frac{13}{16}$?

   Решение

---

а) Из какого минимального числа кусков проволоки можно спаять каркас куба?
б) Какой максимальной длины кусок проволоки можно вырезать из этого каркаса? (Длина ребра куба равна 1 см.)

   Решение

---

Докажите, что при любых x, y, z выполнено неравенство: x⁴ + y⁴ + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30889  (#046)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61385  (#047)

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Инварианты и полуинварианты ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если   a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n,   b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n,   то наибольшая из сумм вида   a₁b_k1 + a₂b_k2 + ... + a_nb_kn     (k₁, k₂, ..., k_n – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n,   а наименьшая – сумма   a₁b_n + a₂b_n–1 + ... + a_nb₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30891  (#048)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Замена переменных (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Докажите, что при любом x выполняется неравенство  x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30892  (#049)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Докажите, что при любых x, y, z выполнено неравенство: x⁴ + y⁴ + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30893  (#050)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Докажите, что   .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями