Разложите функции     и     (n ≥ 1)  в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи F_n(x) и Люка L_n(x) смотри, например, здесь.

   Решение

В поселке 100 домов. Какое наибольшее число замкнутых не пересекающихся заборов можно построить, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали бы одну и ту же совокупность домов?

   Решение

В ряд выписаны числа от 1 до 9999. Как вычеркнуть из этой записи 100 цифр так, чтобы оставшееся число было a) максимальным b) минимальным?

   Решение

Доказать, что для любого n
  а)  7²ⁿ – 4²ⁿ  делится на 33;
  б)  3⁶ⁿ – 2⁶ⁿ  делится на 35.

   Решение

Когда встречаются два жителя Цветочного города, один отдает другому монету в 10 копеек, а тот ему - 2 монеты по 5 копеек. Могло ли случиться так, что за день каждый из 1990 жителей города отдал ровно 10 монет?

   Решение

В центре куба сидит жук. Доказать, что он, переползая через ребра, не сможет обойти все кубики по одному разу.

   Решение

Найти остаток  (116 + 17¹⁷)²¹·7⁴⁹  от деления на 8.

   Решение

Несколько человек построились в два ряда. Каждый во втором ряду выше стоящего перед ним. Доказать, что если каждый ряд построить по росту, то это свойство сохранится.

   Решение

Найти остаток  4¹⁸ + 5¹⁷  от деления на 3.

   Решение

Через n!! обозначается произведение  n(n – 2)(n – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.
Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

   Решение

Доказать, что  776⁷⁷⁶ + 777⁷⁷⁷ + 778⁷⁷⁸  делится на 3.

   Решение

Некто А загадал число от 1 до 15. Некто В задает вопросы на которые можно отвечать ``да" или ``нет". Может ли В отгадать число, задав a) 4 вопроса; б) 3 вопроса.

   Решение

m и n взаимно просты, b – произвольное целое число. Доказать, что числа  b,  b + n,  b + 2n,  ...,  b + (n – 1)n  дают все возможные остатки по модулю m.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

a ≡ 68 (mod 1967),   a ≡ 69 (mod 1968).  Найти остаток от деления a на 14.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что  3ⁿ + 1  не делится на 10100.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Прислать комментарий

Решение

m и n взаимно просты, b – произвольное целое число. Доказать, что числа  b,  b + n,  b + 2n,  ...,  b + (n – 1)n  дают все возможные остатки по модулю m.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]