Каталог по источникам

Выбрано 9 задач

Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.

Решение

а) 1 < cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ $\leq$ 3/2;
б) 1 < sin( $\alpha$ /2) + sin( $\beta$ /2) + sin( $\gamma$ /2) $\leq$ 3/2.

Решение

Окружности S₁, S₂,..., S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂..., S_{n - 1} касается S_n в точке A_{n - 1}. Докажите, что точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

Решение

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

Решение

Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?

Решение

Даны три прямые a, b, c. Докажите, что композиция симметрий S_coS_boS_a является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.

Решение

x² ≡ y² (mod 239). Доказать, что x ≡ y или x ≡ – y.

Решение

Докажите тождество: 1³ + 2³ +...+ n³ = (1 + 2 +...+ n)².

Решение

Может ли m! + n! оканчиваться на 1990?

Решение

Задача 31266 (#36)

Задача 31267 (#37)

Задача 31268 (#38)

Задача 31269 (#39)

Задача 31270 (#40)