Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 32897 (#1)

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
Темы:	[	Прямые и плоскости в пространстве	]

Сложность: 3-
Классы: 9,10,11

Авторы: Блинков А.Д., Шноль Д.Э.

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось Ox в точках A и M, а ось Oy – в точке C. График другого пересекает ось Ox в точках B и M, а ось Oy – в точке D. (O – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники AOC и BOD подобны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32898 (#2)

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Бакаев Е.В.

На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. К ним по одному подошли еще 20 детей, и каждый из них садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика – отважным, если он садился между двумя соседними девочками. Когда все сели, оказалось, что мальчики и девочки сидят на скамейке, чередуясь. Сколько из них были отважными?

Прислать комментарий

Решение

Задача 32899 (#3)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Перегруппировка площадей	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Авторы: Николаев С.А., Ивлев Ф.

Дан правильный 4n-угольник A₁A₂...A_4n площади S, причём n > 1. Найдите площадь четырёхугольника A₁A_nA_{n +1}A_n+2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116007 (#4)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Бердников А., Митрофанов И.В.

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из n человек, команда математических – из m, причём n ≠ m. Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116008 (#5)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Интерполяционный многочлен Лагранжа	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

Дана функция f(x), значение которой при любом целом x целое. Известно, что для любого простого числа p существует такой многочлен Q_p(x) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что f(n) – Q_p(n) делится на p при любом целом n. Верно ли, что существует такой многочлен g(x) с вещественными коэффициентами , что g(n) = f(n) для любого целого n?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]