Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

Натуральные числа а, b, c и d таковы, что  ab = cd.  Может ли число  a + b + c + d  оказаться простым?

Вниз   Решение


Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.


ВверхВниз   Решение


Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.


ВверхВниз   Решение


Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.


ВверхВниз   Решение


Даны  N ≥ 3  точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.

ВверхВниз   Решение


Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.


ВверхВниз   Решение


Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.
Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

ВверхВниз   Решение


Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде  x = ap + bp  (с натуральными a, b) при всех   pP   и не представляется в таком виде для любого простого pP.

ВверхВниз   Решение


Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.


ВверхВниз   Решение


Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  np – p  не делятся на q.

ВверхВниз   Решение


а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.

б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

ВверхВниз   Решение


Автор: Храбров А.

Докажите, что     для  x > 0  и натурального n.

ВверхВниз   Решение


Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: "Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения". – "Мой тоже", – ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?

ВверхВниз   Решение


На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 7526]      



Задача 35137

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Даны две концентрические окружности. Хорда большей из них касается меньшей и имеет длину 2.
Найдите площадь кольца, заключенного между окружностями.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35211

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8

Обозначим через dk количество таких домов в Москве, в которых живет не меньше k жителей, и через cm - количество жителей в m-ом по величине населения доме. Докажите равенство c1+c2+c3+... = d1+d2+d3+... .
Прислать комментарий     Решение


Задача 35254

Тема:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).
Прислать комментарий     Решение


Задача 35270

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Найти наименьшее значение дроби  

Прислать комментарий     Решение

Задача 35298

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10

Найти все целые натуральные решения уравнения  (n + 2)! – (n + 1)! – n! = n2 + n4.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 7526]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .