ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или
на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α. Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что: В треугольнике $ABC$ ($a>b>c$) указаны инцентр $I$, а также точки $K$ и $N$ касания вписанной окружности со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок длины $a-c$. Окружность S касается окружностей S1 и S2 в
точках A1 и A2; B — точка окружности S, а K1
и K2 — вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с
окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2
касается окружности S1, то она касается и окружности S2.
На плоскости даны точки A(1;2) , B(2;1) , C(3;-3) , D(0;0) . Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ? Окружности радиусов ta, tb, tc касаются внутренним образом описанной окружности треугольника ABC в его вершинах A, B, C и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что
ta =
Пусть O — центр описанной окружности
(неправильного) треугольника ABC, M — точка пересечения медиан.
Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане CC1 тогда и только
тогда, когда
a2 + b2 = 2c2.
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер. Даны четыре окружности
S1, S2, S3 и S4, причем
окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4
(S5 = S1). Докажите, что точки касания образуют вписанный
четырехугольник.
Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде
n = a1 . 1! + a2 . 2! + a3 . 3! +...,
где
0
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: R=σ ST4 , где σ = 5,7· 10-8 — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Докажите, что два четырехугольника подобны тогда
и только тогда, когда у них равны четыре соответственных
угла и соответственные углы между диагоналями.
На плоскости расположено несколько непересекающихся отрезков.
Всегда ли можно соединить концы некоторых из них отрезками так,
чтобы получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная?
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P.
Через точку A проведена касательная AB к окружности S1,
а через точку P — прямая CD, параллельная AB (точки B
и C лежат на S2, точка D — на S1). Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
|
Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P.
Через точку A проведена касательная AB к окружности S1,
а через точку P — прямая CD, параллельная AB (точки B
и C лежат на S2, точка D — на S1). Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
Две окружности касаются внутренним образом в
точке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся
меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла AMB.
Через точку M, лежащую внутри окружности S,
проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP
и MQ на касательные, проходящие через точки A и B.
Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора
хорды, проходящей через точку M.
Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A
и C. Окружность S2 касается прямой AC в точке C
и проходит через точку B, окружность S1 она пересекает
в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.
Окружность S касается окружностей S1 и S2 в
точках A1 и A2; B — точка окружности S, а K1
и K2 — вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с
окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2
касается окружности S1, то она касается и окружности S2.
Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке