Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение  P(x) = a.  Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?

   Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).

   Решение

Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.

   Решение

Решите неравенство:
|x + 2000| < |x - 2001|.

   Решение

Найдите все натуральные  n > 1,  для которых  n³ – 3  делится на  n – 1.

   Решение

Все рёбра треугольной пирамиды равны a. Найти наибольшую площадь, которую может иметь ортогональная проекция этой пирамиды на плоскость.

   Решение

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на прямые BC, CA и AB. Докажите, что  PC₁² = PA₁ ^. PB₁ и PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры  OA', OB', OC' на стороны треугольника ABC и перпендикуляры  OA'', OB'', OC'' на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что  OA' ^. OB' ^. OC' = OA'' ^. OB'' ^. OC''.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что  EAF = 45^o. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что  S_AEF/S_APQ = 2.

Прислать комментарий

Решение

Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную окружность в точке N. Докажите, что  CM ^. CN = AC² и  CM/CN = AM ^. BM/(AN ^. BN).

Прислать комментарий

Решение

Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A. На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что CH = BC и AK = AB. Докажите, что:
а) DH = DK;
б)  DKH ABK.

Прислать комментарий

Решение

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на прямые BC, CA и AB. Докажите, что  PC₁² = PA₁ ^. PB₁ и PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры  OA', OB', OC' на стороны треугольника ABC и перпендикуляры  OA'', OB'', OC'' на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что  OA' ^. OB' ^. OC' = OA'' ^. OB'' ^. OC''.

Прислать комментарий

Решение

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]