Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Вниз   Решение


Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырехугольнике ABCD существуют три внутренние точки  P1, P2, P3, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников ABPi и CDPi равна сумме площадей треугольников BCPi и ADPi для i = 1, 2, 3. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

ВверхВниз   Решение


α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = (p - a)/4R;
б)  sin($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = ra/4R.

ВверхВниз   Решение


Даны две пересекающиеся окружности радиуса R, причем расстояние между их центрами больше R. Докажите, что  β = 3α (рис.).


ВверхВниз   Решение


а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S2 = abcd sin2((B + D)/2).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 56793

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  ab . CD/2p.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56794

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 4
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R$ \varphi$ — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырехугольника ABCD равна  2R2sin A sin B sin$ \varphi$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56795

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что площадь четырехугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна  tg$ \varphi$ . | a2 + c2 - b2 - d2|/4, где a, b, c и d — длины последовательных сторон, $ \varphi$ — угол между диагоналями.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56796

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 6
Классы: 9

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S2 = abcd sin2((B + D)/2).
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .