Докажите, что если окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям пучка.

   Решение

Клетчатая прямоугольная сетка m×n связана из верёвочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную верёвочку. Если не останется ни одного замкнутого верёвочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

   Решение

Найти геометрическое место центров вписанных в треугольник ABC прямоугольников (одна сторона прямоугольника лежит на AB).

   Решение

Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины C, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.

   Решение

Расшифровать пример на умножение, если буквой Ч зашифрованы чётные числа, а буквой Н – нечётные.

   Решение

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 3.

   Решение

Любые три последовательные вершины невыпуклого многоугольника образуют прямоугольный треугольник. Обязательно ли у многоугольника найдется угол, равный $90$ или $270$ градусам?

   Решение

На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?

   Решение

Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах.

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников ABB₁ и ACC₁ пересекаются в точке, лежащей на стороне BC, то A = 60^o.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

В треугольнике ABC с углом A, равным  120^o, биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Докажите, что  A₁C₁O = 30^o.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников ABB₁ и ACC₁ пересекаются в точке, лежащей на стороне BC, то A = 60^o.

Прислать комментарий

Решение

Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен  120^o, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен  60^o; O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и I_aO = I_aH.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол A равен  120^o. Докажите, что из отрезков длиной a, b, b + c можно составить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]