Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]

Задача 108005

Темы:	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).

Прислать комментарий Решение

Задача 56923

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ACC_1}{\sin C_1CB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin BAA_1}{\sin A_1AC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sin CBB_1}{\sin B_1BA}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 56914

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

R = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$ .

Докажите, что:
а) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

Прислать комментарий

Решение

Задача 56915

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56917

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]