- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники (20 задач)
- параграф 2. Четырехугольники (16 задач)
- параграф 3. Теорема Птолемея (11 задач)
- параграф 4. Пятиугольники (4 задачи)
- параграф 5. Шестиугольники (6 задач)
- параграф 6. Правильные многоугольники (24 задачи)
- параграф 7. Вписанные и описанные многоугольники (10 задач)
- параграф 8. Произвольные выпуклые многоугольники (5 задач)
- параграф 9. Теорема Паскаля (10 задач)
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Из полоски бумаги шириной 1 см склеили цилиндрическое кольцо с длиной окружности 4 см. Можно ли из этого кольца изготовить квадрат, имеющий площадь: а) 1 кв.см; б) 2 кв.см. Бумагу разрешается склеивать, складывать, но НЕЛЬЗЯ резать.
Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.
Последовательность чисел x0, x1, x2,...задается условиями
На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.
Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M
и N при аффинном преобразовании, то отношение
площадей M и N равно отношению площадей M' и N'.
Решите уравнение 3x + 5y = 7 в целых числах.
Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.
Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
а) (2n+1)-угольника; б) 2n-угольника?
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.
На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?
Найдите углы выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором
BAC = 30o,
ACD = 40o,
ADB = 50o,
CBD = 60o и
ABC +
ADC = 180o.
На прямой даны точки А, В и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка АВ. Каждая из этих 57 точек – либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:
S1 – сумма расстояний от точки А до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки В до всех синих точек;
S2 – сумма расстояний от точки А до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки В до всех красных точек.
Доказать, что S1 ≠ S2.
Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на
гипотенузу, равна 9.6. Из вершины C прямого угла восставлен к
плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM = 28.
Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF
попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади
шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.
Задачи Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 110]
Задача 57060 (#06.048) |
|
|
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF
попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади
шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.
|
|
Решение |
Задача 57061 (#06.049) |
|
|
Все углы выпуклого шестиугольника ABCDEF равны.
Докажите, что
| BC - EF| = | DE - AB| = | AF - CD|.
|
|
Решение |
Задача 57062 (#06.050) |
|
|
Суммы углов при вершинах A, C, E и B, D, F выпуклого
шестиугольника ABCDEF с равными сторонами равны. Докажите, что
противоположные стороны этого шестиугольника параллельны.
|
|
|
Решение |
Задача 57063 (#06.051) |
|
|
Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике
каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные
вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной
точке.
|
|
|
Решение |
Задача 57064 (#06.052) |
|
|
Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике
каждый из трех отрезков, соединяющих середины противоположных
сторон, делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются в одной
точке.
|
|
|
Решение |
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 110]
