Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?

   Решение

Докажите, что числа от 1 до 2001 включительно нельзя выписать подряд в некотором порядке так, чтобы полученное число было точным кубом.

   Решение

Решите в целых числах уравнения:
  а)  3x² + 5y² = 345;
  б)  1 + x + x² + x³ = 2^y.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, притиволежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA₁B₁. Докажите, что  OI ⊥ AB.

   Решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катетов AC и BC в точках B₁ и A₁, а гипотенузы – в точке C₁. Прямые C₁A₁ и C₁B₁ пересекают CA и CB соответственно в точках B₀ и A₀. Докажите, что  AB₀ = BA₀.

   Решение

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей AC и BC равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковой стороны AB. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что её высота равна 16, а радиус окружности равен 3.

   Решение

В трапеции ABCD  AD || BC)  угол ADB в два раза меньше угла ACB. Известно, что  BC = AC = 5  и  AD = 6.  Найдите площадь трапеции.

   Решение

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение  S_DEF : S_ABC   а) больше 1;   б) не меньше 2.

   Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке E. Известно, что диагональ BD является биссектрисой угла ABC и что  BD = 25,  а  CD = 15.  Найдите BE.

   Решение

Диагонали четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке E. На прямой AC взята точка M, причём  ∠BME = 70°,  ∠ADB = 50°,
∠CDB = 60°.  Где расположена точка M: на диагонали AC или на её продолжении?

   Решение

Дана трапеция MNPQ с основаниями MQ и NP. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковую сторону MN в точке A, а боковую сторону PQ – в точке B. Отношение площадей трапеций ANPB и MABQ равно ²/₇. Найдите AB, если  NP = 4,  MQ = 6.

   Решение

Диагонали четырёхугольника PQRS, вписанного в окружность, пересекаются в точке D. На прямой PR взята точка A, причём  ∠SAD = 50°,  ∠PQS = 70°,
∠RQS = 60°.  Где расположена точка A: на диагонали PR или на её продолжении?

   Решение

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

   Решение

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A₁B² + C₁A² + B₁C² = B₁A² + A₁C² + C₁B² (теорема Карно).

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A₁B² + C₁A² + B₁C² = B₁A² + A₁C² + C₁B² (теорема Карно).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вневписанных окружностей на соответственные стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что  AB₁ = AC₁, BC₁ = BA₁ и CA₁ = CB₁. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, CA и AB, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на соответствующие стороны треугольника A₁B₁C₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника A₁B₁C₁ на соответствующие стороны треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.
б) Прямые, проведенные через вершины треугольника ABC параллельно соответствующим сторонам треугольника A₁B₁C₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что прямые, проведенные через вершины треугольника A₁B₁C₁ параллельно соответствующим сторонам треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]