Назовём подмножество $A$ плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой $\ell$ той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие $f\colon\ell\to A$, что для всяких двух точек $X,Y$ на прямой $\ell$ длина отрезка $XY$ отличается от длины отрезка $f(X)f(Y)$ не более, чем на $1$. Верно ли, что любое подмножество плоскости, похожее на прямую, лежит между некоторыми двумя параллельными прямыми?

   Решение

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее число m, обладающее таким свойством: какие бы m из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся  1000 – m  чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде  ax + by,  где x и y – целые неотрицательные числа.
  а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?
  б) Докажите, что из двух чисел n и  с – n  (где n – любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]