Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

Дана прямая l и точки A и B, лежащие по одну сторону от нее. Постройте такую точку X прямой l, что AX + XB = a, где a — данная величина.

Решение

Докажите, что l_al_bl_c $\le$ rp².

Решение

Докажите, что abc = 4prR и ab + bc + ca = r² + p² + 4rR.

Решение

Может ли конечный набор точек содержать для каждой своей точки ровно 100 точек, удаленных от нее на расстояние 1?

Решение

Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

Решение

На бесконечном листе клетчатой бумаги (размер клетки 1×1) укладываются кости домино размером 1×2 так, что они накрывают все клетки. Можно ли при этом добиться того, чтобы любая прямая, идущая по линиям сетки, разрезала лишь конечное число костей?

Решение

Докажите, что для любого нечетного n $\ge$ 3 на плоскости можно указать 2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2n точек.

Решение

Параллелограмм описан около эллипса. Докажите, что диагонали параллелограмма содержат сопряженные диаметры эллипса.

Решение

Дан выпуклый 2n-угольник A₁...A_2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A₁,..., A_2n.

Решение

Картинная галерея представляет собой невыпуклый n-угольник. Докажите, что для обзора всей галереи достаточно [n/3] сторожей.

Решение

Докажите, что ${\frac{a+b-c}{a+b+c}}$ = tg $\left(\vphantom{\frac{\alpha }{2}}\right.$ ${\frac{\alpha }{2}}$ $\left.\vphantom{\frac{\alpha }{2}}\right)$ tg $\left(\vphantom{\frac{\beta }{2}}\right.$ ${\frac{\beta}{2}}$ $\left.\vphantom{\frac{\beta }{2}}\right)$ .