Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A1 и B1, а на стороне CD — точки C1 и D1, причем  AA1 = BB1 = pAB и  CC1 = DD1 = pCD, где p < 0, 5. Докажите, что  SA1B1C1D1/SABCD = 1 - 2p.

Вниз   Решение


а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e < 1, — эллипс.

ВверхВниз   Решение


Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

ВверхВниз   Решение


Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE.

ВверхВниз   Решение


Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.

ВверхВниз   Решение


Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  $ {\frac{1}{ab}}$ + $ {\frac{1}{bc}}$ + $ {\frac{1}{ca}}$ = $ {\frac{1}{2Rr}}$.

ВверхВниз   Решение


Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1. Докажите, что прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются в одной точке O2 (теорема о дважды перспективных треугольниках).

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB1C1D1 и  A2B2CD2; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  ha/la $ \geq$ $ \sqrt{2r/R}$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      



Задача 57424  (#10.016)

Тема:   [ Неравенства с высотами ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Пусть  a $ \leq$ b $ \leq$ c. Докажите, что тогда  ha + hb + hc $ \leq$ 3b(a2+ac+c2)/(4pR).
Прислать комментарий     Решение


Задача 57425  (#10.017)

Тема:   [ Неравенства с биссектрисами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что  la $ \leq$ $ \sqrt{p(p-a)}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57426  (#10.018)

Тема:   [ Неравенства с биссектрисами ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что  ha/la $ \geq$ $ \sqrt{2r/R}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57427  (#10.019)

Тема:   [ Неравенства с биссектрисами ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что: а)  la2 + lb2 + lc2 $ \leq$ p2; б)  la + lb + lc $ \leq$ $ \sqrt{3}$p.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57428  (#10.019B)

Тема:   [ Неравенства с биссектрисами ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что lalblc$ \le$rp2.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .