Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

   Решение

а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e < 1, — эллипс.

   Решение

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE.

   Решение

Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

   Решение

Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.

   Решение

Докажите, что  + + = .

   Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, и прямые AB₁, BC₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₁. Докажите, что прямые AC₁, BA₁ и CB₁ тоже пересекаются в одной точке O₂ (теорема о дважды перспективных треугольниках).

   Решение

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB₁C₁D₁ и  A₂B₂CD₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB₁B₂ перпендикулярна отрезку D₁D₂.

   Решение

Докажите, что  h_a/l_a .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

Пусть  a b c. Докажите, что тогда  h_a + h_b + h_c 3b(a²+ac+c²)/(4pR).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  l_a .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  h_a/l_a .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что: а)  l_a² + l_b² + l_c² p²; б)  l_a + l_b + l_c p.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что l_al_bl_crp².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]