Каталог по источникам

Выбрано 10 задач

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол при вершине A равен 80°. Внутри треугольника ABC взята точка M так, что
∠MBC = 30° и ∠MCB = 10°. Найдите величину угла AMC.

Решение

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число целое.

Решение

а) Пусть {a₁, a₂,..., a_n} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n}, {a₂, ..., a_n, a₁}, ..., {a_n, a₁, ..., a_n–1} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

б) Выведите отсюда равенства: где (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2) – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Решение

Пусть – производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству

C(x) = xC²(x) + 1,

и получите явный вид функции C(x).
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Решение

Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи 61519 и равенством где
– обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол при вершине B равен 20^o. На сторонах BC и AB взяты точки D и E соответственно так, что $\angle$ DAC = 60^o и $\angle$ ECA = 50^o. Найдите угол ADE.

Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса BE и на стороне BC взята точка K так, что $\angle$ AKB = 2 $\angle$ AEB. Найдите величину угла AKE, если $\angle$ AEB = $\alpha$ .

Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

На доске записано произведение a₁a₂... a₁₀₀, где a₁, ..., a₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a₁, a₂, ..., a₁₀₀ могло быть?

Решение

Авторы: Кноп К.А., Емельянов Л.А.

При изготовлении партии из N ≥ 5 монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A на высоте AD как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке K и сторону AC в точке M. Отрезки AD и KM пересекаются в точке L. Найдите острые углы треугольника ABC, если известно, что AK : AL = AL : AM.

Решение

Задача 57638 (#12.055)

Задача 57639 (#12.056)

Задача 57640 (#12.057)

Задача 57641 (#12.058)

Задача 57642 (#12.059)