Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]

Задача 57696 (#13.014)

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Пусть a₁,...,a_n — векторы сторон n-угольника, $\varphi_{ij}^{}$ = $\angle$ (a_i,a_j). Докажите, что a₁² = a₂² +...+ a_n² + 2 $\sum\limits_{i>j>1}^{}$ a_ia_jcos $\varphi_{ij}^{}$ , где a_i = |a_i|.

Прислать комментарий Решение

Задача 57697 (#13.015)

[Теорема Гаусса]

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Дан четырехугольник ABCD. Пусть u = AD², v = BD², w = CD², U = BD² + CD² - BC², V = AD² + CD² - AC², W = AD² + BD² - AB². Докажите, что uU² + vV² + wW² = UVW + 4uvw.

Прислать комментарий Решение

Задача 57698 (#13.016)

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа ( $\overrightarrow{MA}$ , $\overrightarrow{MB}$ ) и ( $\overrightarrow{MC}$ , $\overrightarrow{MD}$ ) различны. Докажите, что $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{DB}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57699 (#13.017)

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что в выпуклом k-угольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей равна нулю.

Прислать комментарий Решение

Задача 57700 (#13.018)

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 5+
Классы: 9

В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]