Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 59]
Задача
57711
(#13.029)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Внутри треугольника
ABC взята точка
O. Докажите, что
SBOC . ![$\displaystyle \overrightarrow{OA}$](show_document.php?id=599917)
+
SAOC . ![$\displaystyle \overrightarrow{OB}$](show_document.php?id=599918)
+
SAOB . ![$\displaystyle \overrightarrow{OC}$](show_document.php?id=599919)
=
![$\displaystyle \overrightarrow{0}$](show_document.php?id=599920)
.
Задача
57712
(#13.030)
|
|
Сложность: 3 Классы: 9
|
Точки
A и
B движутся по двум фиксированным лучам с общим
началом
O так, что величина
![$ {\frac{p}{OA}}$](show_document.php?id=599943)
+
![$ {\frac{q}{OB}}$](show_document.php?id=599944)
остается
постоянной. Докажите, что прямая
AB при этом проходит через
фиксированную точку.
Задача
57713
(#13.031)
|
|
Сложность: 3 Классы: 9
|
Через точку
M пересечения медиан треугольника
ABC проведена
прямая, пересекающая прямые
BC,
CA и
AB в точках
A1,
B1 и
C1. Докажите, что
(1/
![$ \overline{MA_1}$](show_document.php?id=599959)
) + (1/
![$ \overline{MB_1}$](show_document.php?id=599960)
) + (1/
![$ \overline{MC_1}$](show_document.php?id=599961)
) = 0 (отрезки
MA1,
MB1 и
MC1 считаются
ориентированными).
Задача
57714
(#13.032)
|
|
Сложность: 3 Классы: 9
|
На сторонах
BC,
CA и
AB треугольника
ABC взяты точки
A1,
B1 и
C1. Отрезки
BB1 и
CC1,
CC1 и
AA1,
AA1
и
BB1 пересекаются в точках
A2,
B2 и
C2 соответственно.
Докажите, что если
![$ \overrightarrow{AA_2}$](show_document.php?id=599988)
+
![$ \overrightarrow{BB_2}$](show_document.php?id=599989)
+
![$ \overrightarrow{CC_2}$](show_document.php?id=599990)
=
![$ \overrightarrow{0}$](show_document.php?id=599999)
,
то
AB1 :
B1C =
CA1 :
A1B =
BC1 :
C1A.
Задача
57715
(#13.033)
|
|
Сложность: 4 Классы: 9
|
Четырехугольник
ABCD вписанный. Пусть
Ha — ортоцентр
треугольника
BCD,
Ma — середина отрезка
AHa;
точки
Mb,
Mc и
Md определяются аналогично. Докажите, что
точки
Ma,
Mb,
Mc и
Md совпадают.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 59]