Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]

Задача 57721 (#13.038)

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.

Прислать комментарий Решение

Задача 57722 (#13.039)

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Даны два набора векторов a₁,...,a_n и b₁,...,b_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

Прислать комментарий Решение

Задача 57723 (#13.040)

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего.

Прислать комментарий Решение

Задача 57724 (#13.041)

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна L. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше L/ $\pi$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57725 (#13.042)

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше d, то его периметр меньше $\pi$ d.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]