Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 59]
Задача
57716
(#13.034)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9
|
Четырехугольник
ABCD вписан в окружность радиуса
R.
а) Пусть
Sa — окружность радиуса
R с центром в ортоцентре
треугольника
BCD; окружности
Sb,
Sc и
Sd определяются
аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной
точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников
ABC,
BCD,
CDA и
DAB пересекаются
в одной точке.
Задача
57717
(#13.035)
|
|
Сложность: 3 Классы: 9
|
Точка
X лежит внутри треугольника
ABC,
=
SBXC,
=
SCXA
и
=
SAXB. Пусть
A1,
B1 и
C1 — проекции точек
A,
B и
C на произвольную прямую
l. Докажите, что длина
вектора
+
+
равна
(
+
+
)
d, где
d — расстояние от точки
X до прямой
l.
Задача
57718
(#13.036)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9
|
Выпуклый 2
n-угольник
A1A2...
A2n вписан в окружность
радиуса 1. Докажите, что
Задача
57719
(#13.036B)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9
|
Пусть
a1,
a2, ...,
a2n + 1 — векторы
длины 1. Докажите, что в сумме
c = ±
a1±
a2±...±
a2n + 1
знаки можно выбрать так, что
|
c|
1.
Задача
57720
(#13.037)
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9
|
Пусть
a,
b и
c — длины сторон треугольника
ABC,
na,
nb и
nc — векторы единичной
длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные
во внешнюю сторону. Докажите, что
a3na +
b3nb +
c3nc = 12
S . ,
где
S — площадь,
M — точка пересечения медиан,
O — центр описанной окружности треугольника
ABC.
Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 59]