На окружности имеется 21 точка.
Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.

   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
cos + cos + cos = (R + r)/R.

   Решение

Внутри произвольного угла взята точка M. С помощью циркуля и линейки проведите через точку M прямую так, чтобы её отрезок, заключённый между сторонами угла, делился бы точкой M пополам.

   Решение

Докажите, что любой выпуклый многоугольник  содержит два непересекающихся многоугольника  и , подобных  с коэффициентом 1/2.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A₁...A_n; M₁,..., M_n — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A₁,..., A_n соответственно. Докажите, что многоугольники A₁...A_n и  M₁...M_n гомотетичны.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что любой выпуклый многоугольник  содержит два непересекающихся многоугольника  и , подобных  с коэффициентом 1/2.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]